Série N°1 d'Activités Numériques - 1ère Année Secondaire (Cours & Correction)

Devoir de Contrôle N°2 de Mathématiques 1ère Année Secondaire avec Correction Détaillée PDF

Mathématiques – 1ère année secondaire – Devoir de contrôle n°2

Vous êtes élève en première année secondaire et vous souhaitez vous préparer efficacement au devoir de contrôle n°2 de mathématiques ?

Pour vous aider à réviser et à mieux comprendre les notions essentielles du programme, nous vous proposons un devoir de contrôle de mathématiques accompagné de son corrigé.

Ce sujet comporte trois exercices portant sur les puissances, la notation scientifique, les nombres réels, les racines carrées et le théorème de Thalès.

Vous trouverez dans cet article une présentation du sujet, les principales méthodes de résolution ainsi qu'un aperçu des résultats du corrigé. Le document complet est disponible en consultation et en téléchargement PDF.

Informations sur le devoir

Matière	Mathématiques
Niveau	1ère année secondaire
Classe indiquée	1ère S9
Type	Devoir de contrôle n°2
Nombre d'exercices	3 exercices
Note totale	20 points
Document	PDF – 2 pages

1. Présentation du sujet et répartition des points

Le devoir est organisé en trois exercices indépendants. Chaque exercice évalue des compétences mathématiques différentes.

Exercice	Notions évaluées	Barème
Exercice 1	Puissances et notation scientifique	5 points
Exercice 2	Nombres réels et racines carrées	7 points
Exercice 3	Théorème de Thalès et parallélisme	8 points
Total		20 points

2. Correction de l'exercice 1 : Puissances et notation scientifique (5 points)

Le premier exercice porte sur les puissances de 10, l'écriture scientifique et les règles de calcul sur les puissances.

Question 1 : Compléter les égalités

On utilise la règle de l'écriture décimale sous forme de puissance de 10.

Première égalité :

0,3 = 3 × 10⁻¹

Deuxième égalité :

0,45 = 45 × 10⁻²

Troisième égalité :

0,015 = 15 × 10⁻³

Rappel : Une puissance négative de 10 permet d'écrire un nombre décimal sous la forme d'un produit par une puissance de 10.

Question 2 : Calcul sur les puissances

On donne :

A = (0,3)² × (0,45)⁻³

B = (0,015)³ × (0,3)⁻²

a) Montrer que :

A = 3⁻⁴ × 5 × 2⁴

Calcul de A :

On décompose les nombres décimaux :

0,3 = 3 × 10⁻¹

0,45 = 45 × 10⁻² = 3² × 5 × 10⁻²

Donc :

A = (3 × 10⁻¹)² × (3² × 5 × 10⁻²)⁻³

En appliquant les règles sur les puissances :

A = 3² × 10⁻² × 3⁻⁶ × 5⁻³ × 10⁶

A = 3⁻⁴ × 5⁻³ × 10⁴

Or 10⁴ = 2⁴ × 5⁴.

A = 3⁻⁴ × 5⁻³ × 2⁴ × 5⁴

Résultat :

A = 3⁻⁴ × 5 × 2⁴

Calcul de B :

On part de :

B = (0,015)³ × (0,3)⁻²

Or :

0,015 = 15 × 10⁻³ = 3 × 5 × 10⁻³

0,3 = 3 × 10⁻¹

Donc :

B = (3 × 5 × 10⁻³)³ × (3 × 10⁻¹)⁻²

B = 3³ × 5³ × 10⁻⁹ × 3⁻² × 10²

B = 3 × 5³ × 10⁻⁷

Comme 10⁻⁷ = 2⁻⁷ × 5⁻⁷, on obtient :

B = 3 × 5³ × 2⁻⁷ × 5⁻⁷

Résultat :

B = 3 × 5⁻⁴ × 2⁻⁷

b) Déduire le rapport A/B

On a :

A / B = (3⁻⁴ × 5 × 2⁴) / (3 × 5⁻⁴ × 2⁻⁷)

En utilisant la règle a^m / aⁿ = a^m−n :

A / B = 3⁻⁵ × 5⁵ × 2¹¹

On regroupe les facteurs :

A / B = 2 × (2² × 5 / 3)⁵

Résultat final :

A / B = 2 × (20 / 3)⁵

3. Correction de l'exercice 2 : Nombres réels et racines carrées (7 points)

Cet exercice permet de vérifier la maîtrise des racines carrées, des valeurs absolues et des identités remarquables.

Question 1 : Simplification de x et y

On donne :

x = √2 × (1 − 3√2) + 2√3 × (√3 + 1/2)

y = |√3 − 1| + |√2 − 5| − 4

a) Montrer que x = √3 + √2 et y = √3 − √2.

Calcul de x :

x = √2 − 3 × 2 + 2 × 3 + √3

x = √2 − 6 + 6 + √3

Donc :

x = √3 + √2

Calcul de y :

Comme √3 est supérieur à 1 et √2 est inférieur à 5, on a :

|√3 − 1| = √3 − 1

|√2 − 5| = 5 − √2

Alors :

y = √3 − 1 + 5 − √2 − 4

Donc :

y = √3 − √2

b) Déduire que x × y = 1

En remplaçant x et y par leurs expressions :

x × y = (√3 + √2)(√3 − √2)

On utilise l'identité remarquable :

(a + b)(a − b) = a² − b²

x × y = (√3)² − (√2)²

x × y = 3 − 2

Résultat :

x × y = 1

Question 2 : Calculer x² et y²

On a :

x = √3 + √2

En utilisant (a + b)² = a² + 2ab + b² :

x² = (√3 + √2)²

x² = 3 + 2√6 + 2

Donc :

x² = 5 + 2√6

De même :

y² = (√3 − √2)²

y² = 3 − 2√6 + 2

Donc :

y² = 5 − 2√6

En déduire que x/y + y/x = 10

On sait que xy = 1. On met les deux fractions au même dénominateur :

x/y + y/x = (x² + y²) / xy

Or :

x² + y² = 5 + 2√6 + 5 − 2√6 = 10

Et xy = 1. Par conséquent :

x/y + y/x = 10 / 1

Résultat :

x/y + y/x = 10

Question 3 : Démontrer une égalité avec les racines carrées

Montrer que :

√[(√3 + √2) / (√3 − √2)] = √3 + √2

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

(√3 + √2) / (√3 − √2) = (√3 + √2)² / (3 − 2)

Comme 3 − 2 = 1 :

(√3 + √2) / (√3 − √2) = (√3 + √2)²

On prend la racine carrée des deux membres. Puisque √3 + √2 est positif :

Résultat :

√[(√3 + √2) / (√3 − √2)] = √3 + √2

4. Correction de l'exercice 3 : Théorème de Thalès (8 points)

On considère un triangle ABC et les points E appartenant au segment [AB] et D appartenant au segment [AC], tels que les droites (ED) et (BC) soient parallèles.

Les données sont :

AD = 2 cm ; EB = 1,8 cm

AE = 3 cm ; BC = 3,2 cm

a) Calculer AC puis déduire DC

Les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A. Les droites (ED) et (BC) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès :

AD / AC = AE / AB = ED / BC

On calcule d'abord AB :

AB = AE + EB = 3 + 1,8 = 4,8 cm

En utilisant :

AD / AC = AE / AB

On obtient :

AC = (AD × AB) / AE

AC = (2 × 4,8) / 3

Donc :

AC = 3,2 cm

Or D appartient au segment [AC], donc :

DC = AC − AD

DC = 3,2 − 2 = 1,2 cm

Résultat :

DC = 1,2 cm

b) Montrer que ED = 2 cm

D'après le théorème de Thalès :

AE / AB = ED / BC

On en déduit :

ED = (AE × BC) / AB

En remplaçant par les valeurs données :

ED = (3 × 3,2) / 4,8

ED = 9,6 / 4,8

Résultat :

ED = 2 cm

c) Les droites (EC) et (AF) sont-elles parallèles ?

On donne DF = 3 cm.

Les points A, D et C sont alignés, et les points E, D et F sont alignés.

Pour vérifier si les droites (EC) et (AF) sont parallèles, on utilise la réciproque du théorème de Thalès.

Calculons les deux rapports :

DA / DC = 2 / 1,2 = 5 / 3

DF / DE = 3 / 2

Or :

5 / 3 ≠ 3 / 2

Les deux rapports ne sont donc pas égaux.

Conclusion :

Les conditions de la réciproque du théorème de Thalès ne sont pas vérifiées. Par conséquent, les droites (EC) et (AF) ne sont pas parallèles.

5. Bilan des notions à maîtriser

Ce devoir permet de réviser plusieurs propriétés essentielles du programme de mathématiques de première année secondaire.

Chapitre	Règle ou propriété
Puissances	am × an = am+n
Puissances	am / an = am−n, pour a non nul
Puissances	(am)n = amn
Identité remarquable	(a+b)(a−b) = a²−b²
Carré d'une somme	(a+b)² = a²+2ab+b²
Théorème de Thalès	Rapports de longueurs dans des triangles en configuration de parallélisme
Réciproque de Thalès	Égalité des rapports pour établir le parallélisme, sous les conditions d'alignement et d'ordre des points

Conseil de révision : Avant de consulter le corrigé, essayez de résoudre chaque exercice seul. Comparez ensuite vos réponses avec les étapes de la correction pour identifier les règles que vous devez encore maîtriser.

6. Télécharger le devoir de contrôle n°2 avec correction PDF

Vous pouvez consulter le document original contenant le sujet et son corrigé manuscrit. Le fichier comporte deux pages.

Devoir de Contrôle N°2 – Mathématiques

Niveau : 1ère année secondaire

Contenu : Sujet et correction

Format : PDF – 2 pages

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Aperçu du document PDF

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7. Questions fréquentes

Quels sont les chapitres évalués dans ce devoir de contrôle n°2 ?

Le sujet porte sur les puissances, la notation scientifique, les nombres réels, les racines carrées et le théorème de Thalès.

Combien d'exercices contient le devoir ?

Le devoir comporte trois exercices, notés respectivement sur 5, 7 et 8 points.

Quelle est la note totale du devoir ?

La note totale est de 20 points.

Peut-on télécharger le corrigé en PDF ?

Oui. Le sujet et son corrigé sont regroupés dans le document PDF accessible depuis cette page.

Comment bien préparer un devoir de mathématiques ?

Il est conseillé de revoir les propriétés du cours, de refaire les exercices et de vérifier chaque étape du raisonnement à l'aide d'une correction détaillée.

Conclusion

La préparation d'un devoir de mathématiques nécessite une bonne compréhension des propriétés et une pratique régulière des exercices.

Ce devoir de contrôle n°2 constitue un entraînement utile pour revoir les puissances, les racines carrées et le théorème de Thalès. Prenez le temps de refaire les calculs et de comprendre les méthodes utilisées dans chaque question.

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