MODELE SIMPLE DE L'ATOME

 Équations et inéquations du premier degré

I)   Équation du premier degré à une inconnue

1)    définitions ;

     Définition 1 :

Une équation à une inconnue est une égalité comprenant un   seul nombre inconnu désigné par une lettre.

Exemple :

L’égalité : 3𝑥 + 2 = 7𝑥 + 1 est une équation du premier degré à une inconnue. Le nombre inconnu est désigné par la lettre 𝑥

Définition 2 :

Résoudre une équation dont l’inconnue est le nombre 𝒙 c’est trouver toutes les valeurs possibles du nombre 𝒙 qui vérifient l’égalité.

Chaque valeur de 𝒙 est une solution de cette équation.

Exemple : Résoudre l’équation 𝑥 − 2 = 7

Comme 9 – 2 = 7 La valeur de 𝑥 qui vérifie l’égalité est 9. 

L’équation 𝑥 − 2 = 7 a une solution qui est 9

2) Règles ;

-  Si on ajoute ou retranche un même nombre aux deux membres d’une égalité

-  Si on multiplie ou divise un même nombre aux deux membres d’une égalité :

On ne change pas les solutions de l’équation

3)    Résolutions des équations de base :

Pour tout nombre a et

 a)  On peut retrancher le nombre à aux deux membres d’une égalité pour ;

« isoler le nombre x »

 

Si 𝒙 + 𝒂 = 𝒃 alors 𝒙 + 𝒂 − 𝒂 = 𝒃 − 𝒂 donc 𝒙 = 𝒃 − 𝒂

Exemple :

𝑥 +5= 9 alors 𝑥 = 9 − 5 et donc 𝑥 = 4

L'équation 𝑥 + 5= 9 a une solution qui est 4

b)  On peut ajouter le nombre à aux deux membres d’une égalité pour
« isoler le nombre x »

Si 𝒙 − 𝒂 = 𝒃 alors 𝒙 − 𝒂 + 𝒂 = 𝒃 + 𝒂 donc 𝒙 = 𝒃 + 𝒂

Exemple :

𝑥 − 9 = 7 alors 𝑥 = 7 + 9 et donc 𝑥 = 16

L'équation 𝑥 − 9 = 7 a une solution qui est 16

c)  On peut diviser le nombre a aux deux membres d’une égalité pour

« isoler le nombre x »

d) On peut multiplier le nombre a aux deux membres d’une égalité pour
« isoler le nombre x »

e)  On peut multiplier par le nombre x ( x≠ 0) les deux membres d’une      égalité

II)  Équation produit nul

1)    Définition :

Une équation produit nul est une équation dont l’un des membres est un produit de facteurs du premier degré et l'autre membre est égal à zéro.

Exemple :

 

(5𝑥 + 3)(3𝑥 − 2) = 0 est une équation produit nul

2)    Propriété :

Si l’un des facteurs d’un produit est nul, alors ce produit est nul.

Donc, pour tout nombre réel à nous pouvons écrire : 𝟎  × 𝒂 = 𝟎 ou 𝒂 × 𝟎 = 𝟎

3)    Propriété Réciproque :

Si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul

Donc, si 𝒂  × 𝒃 = 𝟎 alors 𝒂 = 𝟎 ou 𝒃 = 𝟎

 

D'une manière générale :

 

si (𝒂𝒙 + 𝒃)(𝒄𝒙 + 𝒅) = 𝟎 on a alors (𝒂𝒙 + 𝒃) = 𝟎 ou (𝒄𝒙 + 𝒅) = 𝟎

Exemple :

Résoudre l’équation (9𝑥 − 7)(5𝑥 + 9) = 0

C’est une équation produite (pour la résoudre, on utilise la propriété réciproque) : Lorsqu’un produit est nul, alors un de ses facteurs est nul :

9𝑥 − 7 = 0 ou 5𝑥 + 9 = 0

9𝑥 = 7 ou 5𝑥 = −9

III)         Équation du type :    x2 =a

a)    Définition 1 :

Si à < 0 l’équation 𝒙^𝟐 = 𝒂 n’a pas de solution

Exemples :

L’équation   x² = -2 n’a pas de solution puisque  x2 ³0 et -2<0

Un nombre positif ne peut être égal à un nombre strictement négatif

b)    Définition 2 :

Si a = 0, l’équation 𝒙^𝟐 = 𝒂 a une seule solution x = 0

L’équation x² = 0 a une solution qui est 0

c)   Définition 3 :

Si à > 0, l’équation 𝒙^𝟐 = 𝒂

admet deux solutions : √𝒂 et −√𝒂

Exemples :

𝑥² = 49 a pour solutions 𝑥 = √49 et 𝑥 = −√49 soit 𝑥 = 7 et 𝑥 = −7

L’équation 𝒙² = 𝟒𝟗 a deux solutions : 𝟕 𝒆𝒕 − 𝟕

IV) Inéquation du 1ᵉʳ degré à une inconnue

1)    Inégalités ;

a) Inégalités au sens large ;

●  𝒂 ≤ 𝒃 signifie que a est inférieur à b ou que a est égale à b, soit 𝒂 ≤ 𝒃 signifie que 𝒂 < 𝒃 ou 𝒂 = 𝒃

●  𝒂 ≥ 𝒃 signifie que a est supérieur à b ou que a est égale à b, soit 𝒂 ≥ 𝒃 signifie que 𝒂 > 𝒃 ou 𝒂 = 𝒃

b)   Inégalités et opérations ;

Propriété 1 :

Si on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres d’une inégalité, 

on ne change pas le sens de cette inégalité

Ainsi, quel que soit a, b et

Propriété 2 :

Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre positif, on ne change pas le sens de cette inégalité

Ainsi, peu importe a, b et c

Si 𝒄 > 𝟎 et 𝒂 ≤ 𝒃 alors 𝒂𝒄 ≤ 𝒃𝒄

Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre négatif, on change le sens de l’inégalité

Ainsi quels que soient a, b et c

Si 𝒄 < 𝟎 et 𝒂 ≤ 𝒃 alors 𝒂𝒄 ≥ 𝒃𝒄

(Il faut bien faire attention au sens de l’inégalité !)

Exemple : 7 > 4 alors 7 × (−𝟑) < 4 × (−𝟑 ) soit −21 < −12

 

Exemples récapitulatifs :

Si 𝑎 ≥ 4 alors, on peut écrire 5𝑎 ≥ 20 ou par exemple – 2𝑎 ≤ −8

ou encore 10 𝑎 ≥ 40 et −10 𝑎   ≤ −40

ou encore – 𝑎 ≤ −4     et 8𝑎 ≥ 32

1)   Inéquations ;

a)    Définitions ;

Définition 1 :

Une inéquation à une inconnue est une inégalité comprenant un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition 2 :

Résoudre une inéquation dont l’inconnue est le nombre 𝒙, c'est trouvé toutes les valeurs possibles du nombre 𝒙 qui vérifient l’inégalité.